Question

已知抛物线y=ax²+bx+c中，4a-b=0，a-b+c＞0，抛物线与x轴有两个不同的交点，且这两个交点之间的距离小于2．则下列结论：①abc＜0，②c＞0，③a+b+c＞0，④4a＞c，其中，正确结论的个数是（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

根据题意画出相应的图形，由图象可得出a，b及c都大于0，即可对选项①和②作出判断，由x=1时对应的函数值在x轴上方，故将x=1代入函数解析式，得到a+b+c大于0，可得出选项③正确，由抛物线与x轴有两个不同的交点，得到根的判别式大于0，然后将其中的b换为4a，整理后可得出4a大于c，得到选项④正确，综上，得到正确的选项有3个．
【解析】
∵抛物线y=ax2+bx+c中，4a-b=0，a-b+c＞0，
∴抛物线对称轴为直线x=-=-=-2，且x=-1对应二次函数图象上的点在x轴上方，
又这两个交点之间的距离小于2，根据题意画出相应的图形，如图所示：

可得：a＞0，b＞0，c＞0，
∴abc＞0，故选项①错误，选项②正确；
由图象可得：当x=1时，y=a+b+c＞0，故选项③正确；
∵抛物线与x轴有两个不同的交点，
∴b2-4ac＞0，又4a-b=0，即b=4a，
∴（4a）2-4ac＞0，即4a（4a-c）＞0，
∴4a-c＞0，即4a＞c，故选项④正确，
综上，正确的选项有②③④共3个．
故选B