Question

在以点O为坐标原点的平面直角坐标系中，抛物线y=ax²+4ax+3a与轴交于A、B两点（OA＞OB）与y轴负半轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线x=m与抛物线交于点D，与线段AC交于点E，当线段DE的长取最大值时，求m的值和DE的长；
（3）设⊙0₁经过A、O、C三点，点M为弧AO上一点．求值．

Answer

（1）令ax2+4ax+3a=0，求出与x轴、y轴的交点，再根据OC=3OB即可求出C点坐标，从而得到a的值，即可求出函数解析式；
（2）根据函数解析式求出D、E的坐标表达式，二者纵坐标之差为DE的长，其表达式为二次函数，从而通过配方可直接求出m的值和DE的长；
（3）在MC上截取N，使CN=AM，得到△CON≌△AOM，从而有ON=OM，则△OMN为等腰直角三角形，故MN=MO，再代入求值．
【解析】
（1）由ax2+4ax+3a=0（a≠0），
可解得，x1=-1，x2=-3；
∵OA＞OB，
∴A（-3，0），B（-1，0），
∴OC=3OB=3，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴C（0，-3），
∴3a=-3，a=-1，
∴抛物线解析式为y=-x2-4x-3；

（2）∵A（-3，0），C（0，-3），
∴直线AC的解析式为y=-x-3，
易得，D（m，-m2-4m-3），E（m，-m-3），
∵抛物线开口向下，点E在AC之间，
∴-3＜m＜0，
∴DE=（-m2-4m-3）-（-m-3）
=-m2-3m=-（m+）2+，
∴当m=-时，DE的长取最大值，最大值为；

（3）在MC上截取N，使CN=AM，
易证，△CON≌△AOM（SAS），
∴ON=OM，△OMN为等腰直角三角形，故MN=MO，
∴===．