Question

如图，AB是⊙O的切线，切点为A，OB与⊙O交于C，且点C为OB的中点，过C点作弦CD使∠ACD=45°，弧AD的长为π，则以AD和AC的长为两根的一元二次方程是（ ）

A．x²-（2+）x+2=0
B．x²-（2+）x-2=0
C．x²-（2-）x+2=0
D．x²-（2-）x-2=0

Answer

连OA、OD，设⊙O半径为R，根据圆周角定理得到∠AOD=2∠ACD=90°，则△AOD为等腰直角三角形，再利用弧长公式有=π，解得R=，则AD=OD=×=2，然后根据切线的性质得OA⊥AB，即∠OAB=90°，而点C为OB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AC=BC=OC=，根据根与系数的关系可得以2和为根的一元二次方程可为（x-2）（x-）=0，化为一般式为：x2-（2+）x+2=0．
【解析】
连OA、OD，如图，设⊙O半径为R，
∵∠ACD=45°，
∴∠AOD=2∠ACD=90°，则△AOD为等腰直角三角形，
∴弧AD的长=，
而弧AD的长为π，
∴=π，解得R=，
∴AD=OD=×=2，
又∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，即∠OAB=90°，
∵点C为OB的中点，
∴AC=BC=OC=，
∴以2和为根的一元二次方程可为（x-2）（x-）=0，
化为一般式为：x2-（2+）x+2=0．
故选A．