Question

如图，P为正方形ABCD的对称中心，正方形ABCD的边长为，tan∠ABO=3，直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以个单位每秒速度运动，运动时间为t，求：
（1）直接写出A、D、P的坐标；
（2）求△HCR面积S与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？
（4）求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形时t的值．

Answer

（1）过点D作DF⊥y轴于点F，作CE⊥x轴于点E，连接AC，由tan∠ABO=3可知=3，设OA=3x，则OB=x，再根据正方形ABCD的边长为利用勾股定理可求出OA及OB的长，由全等三角形的判定定理可得出△AOB≌△BEC≌△DFA，故可得出CD的坐标，利用中点坐标公式即可得出P点坐标；
（2）由R速度为，H速度为1，且∠ROH=45°，可知tan∠ROH=1，故RH始终垂直于x轴，RH=OH=t，设△HCR的边RH的高为h，h=|4-t|，再由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）过点N作NE⊥AO，于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，求出M、N两点坐标，再分∠DRM=45°和∠MDR=45°两种情况进行讨论；
（4）分情况进行讨论，顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可；顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，结合已知和已证求出R点的坐标，求出t即可．
【解析】
（1）如图1，过点D作DF⊥y轴于点F，作CE⊥x轴于点E，连接AC，
∵tan∠ABO=3，
∴=3，
∴设OA=3x，则OB=x，
∵正方形ABCD的边长为，
∴△AOB中，OA2+OB2=AB2，即9x2+x2=（）2，
解得x=1，
∴OA=3，OB=1，
∴A（0，3），
∵∠OAB+∠ABO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，∠CBE+∠BCE=90°，
∴∠OAB=∠CBE，∠ABO=∠BCE，
在△AOB与△BEC中，
∵，
∴△AOB≌△BEC，
同理可得，△AOB≌△BEC≌△DFA，
∴BE=DE=3，CE=AF=1，
∴C（4，1），D（3，4），
∵P为正方形ABCD的对称中心，
∴P是AC的中点，
∴P（，），即（2，2），
故C（4，1）、D（3，4）、P（2，2）；

（2））∵R速度为，H速度为1，且∠ROH=45°，
∴tan∠ROH=1，
∴RH始终垂直于x轴，
∴RH=OH=t，
设△HCR的边RH的高为h，
∴h=|4-t|．
∴S△HCR=h•t•=|-t2+4t|•，
∴S=-t2+2t（0＜t＜4）或S=t2-2t（t＞4）；
故S=-t2+2t（0＜t≤4）或S=t2-2t（t＞4）；

（3）如图2，过点N作NE⊥AO于点E，过点A作AF⊥MS于点F，MS⊥x轴于点S，
由（1）可得：B（1，0），
∴直线AB的解析式为：y=-3x+3①；
直线OP的解析式为：y=x②，
①②联立得，
解得，
直线CD的解析式是：y=-3x+13，
解方程组：，
解得
得：则M的坐标是：（，），
∴ON=，OM=，
∵AD2+DM2=AF2+MF2，即10+MD2=（）2+（）2，
∴DM=，AN==，
当∠MDR=45°时，
∵∠AON=45°，
∴∠MDR=∠AON，
∵AN∥DM，
∴∠ANO=∠DMP，
∴△ANO与△DMR相似，则△ANO∽△RMD，
∴=，即=，
解得MR=，
则OR=OM-MR=2，
故t=2，
同理可得：当∠DRM=45°时，t=3，△ANO与△DMR相似，
综上可知：t=2或3时当△ANO与△DMR相似；

（4）以A、B、C、R为顶点的梯形，有三种可能：
 ①顶边和底边分别为BC、AR，此时BC∥AR．如图3，延长AD，使其与OM相交于点R，
则AD的斜率=tan∠BAO=
则直线AD为：y=+3．
则R坐标为（4.5，4.5），
则此时四边形ABCR为直角梯形，
则t=4.5；
 ②顶边、底边分别为CR、AB，此时CR∥AB，且R与M重合．
则CD的斜率=-3，且直线CD过点C，
则直线CD为：y-1=-3•（x-4），
则y=-3x+13，
∵OM与CD交于点M（即R），
∴M为（，）
∴此时四边形ABCR为梯形，
∴t=，
③求AC，BR的解析式，进而求出R坐标（，）求出t=．
综上所述，t=4.5或t=或t=．