Question

如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，△ACE为等腰直角三角形，∠AEC=90°，连接BE交AD、AC分别于F、N，CM平分∠ACB交BN于M，下列结论：①AB=AF；②AE=ME；③BE⊥DE；④，其中正确的结论的个数有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，
易证△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即①正确；由①得到∠ABF=∠AFB=45°，再利用矩形的性质可得AE=ME，即②正确和∠FED=90°，即③正确；过N作NH⊥EC，利用
AF∥BC，AC=5，得到NC=×5=，得到NH=HC，再利用勾股定理得到EN，而S△CMN：S△CEN=MN：EN，即可得到④正确．
【解析】
∵∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，
∴点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，
∴∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，
而∠DAC=∠ACB，
∴∠AEB=∠CED，
又∵△ACE为等腰直角三角形，
∴AE=CE，
∴△AEF≌△CED，
∴AF=CD，
而CD=AB，
∴AB=AF，即①正确；
∴∠ABF=∠AFB=45°，
∴∠EMC=∠MCB+45°，
而∠ECM=∠NCM+45°，
∵CM平分∠ACB交BN于M，
∴∠EMC=∠ECM，
∴EC=EM，
∴AE=ME，即②正确；
∵∠EDA=∠EAC=45°，
而∠EFD=∠AFB=45°，
∴∠FED=90°，即③正确；
过N作NH⊥EC，如图，
∵AF∥BC，AC=5，
∴NC：AN=BC：AF，
∴NC=×5=，
∴NH=HC=×=，
∴EH=-=，
在Rt△ENH中，EN=，
∴MN=EM-EN=，
∵S△CMN：S△CEN=MN：EN=：=2：5．
即④正确．
所以①②③④都正确．
故选D．