Question

如图，∠AOB=30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃、…、半圆C_n的半径分别是r₁、r₂、r₃、…、r_n，则=    ．

Answer

设三个半圆与直线OC分别相切于D、E、F点，分别连接圆心与切点，根据切线的性质得到三个直角三角形，再根据30°角所对直角边等于斜边的一半得到OC1=2C1D，0C2=2C2E，0C3=2C3F，再由三半圆彼此外切，得到相两圆的圆心距等于两半径相加，得出r1、r2、r3间的关系，由r1的值可得出r2、r3的值，按照此规律可归纳出rn的值．

【解析】
连接C1D，C2E，C3F．
∵三半圆都与射线OB相切，
∴C1D⊥OD，C2E⊥OE，C3F⊥OF，
又∵∠AOB=30°，
又∵三半圆彼此相外切，
∴OC1=2C1D=2r1，0C2=2C2E=2r2=OC1+r1+r2=3r1+r2，0C3=2C3F=OC1+r1+2r2+r3=2r3，
∴2r2=3r1+r2，
∴r2=3r1，
∴r3=9r1=32r1，
∴按此规律归纳得：rn=3n-1r1
则==3．
故答案是：3．