Question

已知一次函数y=x+1的图象和二次函数y=x²+bx+c的图象都经过A、B两点，且点A在y轴上，B点的纵坐标为5．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将此二次函数图象的顶点记作点P，求△ABP的面积；
（3）已知点C、D在射线AB上，且D点的横坐标比C点的横坐标大2，点E、F在这个二次函数图象上，且CE、DF与y轴平行，当CF∥ED时，求C点坐标．

Answer

（1）利用一次函数结合A、B两点的特点，求出A、B两点的坐标，然后将A、B的坐标代入y=x2+bx+c，即可组成方程组求出b、c的值，从而得到二次函数的解析式；
（2）画出二次函数图象，画出一次函数AB的图象，将△APB转化为△APG和△PGB两个三角形的面积的和来解答；
（3）设C点横坐标为a，据题意此推知C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），E点坐标为（a，a2-3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a-1），得到 CE=-a2+4a，DF=a2-4，根据CE∥DF，CF∥ED，得出四边形CEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质，求出-a2+4a=a2-4，或-a2+4a=-a2+4求出a的值，从而得到C点坐标．
【解析】
（1）如图1，A点坐标为（0，1），
将y=5代入y=x+1，得x=4，
∴B点坐标为（4，5），
将A、B两点坐标代入y=x2+bx+c，
解得，
∴二次函数解析式为y=x2-3x+1．
（2）y=x2-3x+（）2-（）2+1=（x-）2-，
P点坐标为（，），
抛物线对称轴与直线AB的交点记作点G，则点G（，），
∴PG=，
∴．
（3）如图2，设C点横坐标为a，
则C点坐标为（a，a+1），D点坐标为（a+2，a+3），
E点坐标为（a，a2-3a+1），F点坐标为（a+2，a2+a-1），
由题意，得 CE=-a2+4a，DF=a2-4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE=DF，
∴-a2+4a=a2-4，
解得，，
（舍），
∴C点坐标为（，）．
当 CE=-a2+4a，DF=-a2+4，
∵且CE、DF与y轴平行，
∴CE∥DF，
又∵CF∥ED，
∴四边形CEDF是平行四边形，
∴CE=DF，
∴-a2+4a=-a2+4，
解得：a=1，
故C点坐标为：（1，2）当C点坐标为（1，2）时CF不∥ED，舍去．
综上所述：C点坐标为（，）．