Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为    cm²．

Answer

易证∠BCE=∠ACD，则根据弦切角定理可以得到与弦AD围成的弓形的面积等于与弦CF围成的弓形的面积相等，则阴影部分的面积等于半圆的面积减去直角△ACD的面积，再减去弓形的面积，据此即可求解．
【解析】
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，
∴AC=AB=6cm，∠A=60°
∵E是AB的中点，
∴CE=AB，
则△ACE是等边三角形．
∴∠BCE=90°-60°=30°，
∵AC是直径，
∴∠CDA=90°，
∴∠ACD=90°-∠A=30°，
∴∠BCE=∠ACD，
∴=，
连接OD，作OG⊥CD于点G，
则∠COD=120°，OG=OC=，CG=CD=．
∴阴影部分的面积为：S扇形COD-S△COD=-××=3π-．
故答案是：3π-．