Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），抛物线的对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线对应的函数解析式和对称轴；
（2）设点P为抛物线（x＞5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标；
（3）连接AC，探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），代入A（0，4）即可求得函数的解析式，则可求得抛物线的对称轴；
（2）由已知，可求得P（6，4），由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x＞5，所以MP＞2，AP＞2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，则分析求解即可求得答案；
（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），再求得直线AC的解析式，即可求得NG的长与△ACN的面积，由二次函数最大值的问题即可求得答案．
【解析】
（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-5），
将点A（0，4）代入上式解得：a=，
即可得函数解析式为：y=（x-1）（x-5）=x2-x+4=（x-3）2-，
故抛物线的对称轴是：x=3；

（2）P点坐标为：（6，4），
由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，
又∵点P的坐标中x＞5，
∴MP＞2，AP＞2；
∴以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，
∴四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，
在Rt△AOM中，AM===5，
∵抛物线对称轴过点M，
∴在抛物线x＞5的图象上有关于点A的对称点与M的距离为5，
即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；
故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立，
即P（6，4）；

（3）在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N（t，t2-t+4）（0＜t＜5），
过点N作NG∥y轴交AC于G，作AM⊥NG于M，
由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：y=-x+4；
把x=t代入y=-x+4，则可得G（t，-t+4），
此时：NG=-x+4-（t2-t+4）=-t2+4t，
∵AM+CB=CO，
∴S△ACN=S△ANG+S△CGN=AM×NG+NG×CB=NG•OC=（-t2+4t）×5=-2t2+10t=-2（t-）2+，
∴当t=时，△CAN面积的最大值为，
由t=，得：y=t2-t+4=-3，
∴N（，-3）．