Question

某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图，在⊙O₁和扇形O₂CD中，⊙O₁与O₂C、O₂D分别切于点A、B，已知∠CO₂D=60°，E、F是直线O₁O₂与⊙O₁、扇形O₂CD的两个交点，且EF=24cm，设⊙O₁的半径为xcm．
（1）用含x的代数式表示扇形O₂CD的半径；
（2）若⊙O₁和扇形O₂CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm²和0.06元/cm²，当⊙O₁的半径为多少时，该玩具的制作成本最小？

Answer

（1）连接O1A．利用切线的性质知∠AO2O1=∠CO2D=30°；然后在Rt△O1AO2中利用“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得O1O2=2x；最后由图形中线段间的和差关系求得扇形O2CD的半径FO2为：EF-EO1-O1O2=24-3x；
（2）设该玩具的制作成本为y元，则根据圆形的面积公式和扇形的面积公式列出y与x间的函数关系，然后利用二次函数的最值即可求得该玩具的最小制作成本．
【解析】
（1）连接O1A．
∵⊙O1与O2C、O2D分别切一点A、B
∴O1A⊥O2C，O2E平分∠CO2D，
∴∠AO2O1=∠CO2D=30°，
∴在Rt△O1AO2中，O1O2=2AO1=2x．
∴FO2=EF-EO1-O1O2=24-3x，即扇形O2CD的半径为（24-3x）cm．

（2）设该玩具的制作成本为y元，则
y=0.45πx2+0.06×
=0.9πx2-7.2πx+28.8π
=0.9π（x-4）2+14.4π
所以当x-4=0，即x=4时，y的值最小．
答：当⊙O1的半径为4cm时，该玩具的制作成本最小．