Question

已知：如图，⊙O₁与⊙O₂相交于点A和点B，且点O₁在⊙O₂上，过点A的直线CD分别与⊙O₁、⊙O₂交于点C、D，过点B的直线EF分别与⊙O₁、⊙O₂交于点E、F，⊙O₂的弦O₁D交AB于P．
求证：（1）CE∥DF；
（2）O₁A²=O₁P•O₁D．

Answer

（1）要证明CE∥DF，根据平行线的判定，证明同旁内角互补即可，可以借助圆的内接四边形角与角的关系；
（2）欲证O1A2=O1P•O1D，可证△AO1P∽△DO1A得出．
证明：（1）∵四边形ABEC是⊙O1的内接四边形，
∴∠ABE+∠C=180°．
又四边形ABFD是⊙O2的内接四边形，
∴∠ABE=∠ADF．
∴∠C+∠ADF=180°．
∴CE∥DF；

（2）连接O1B，则O1A=O1B．
∴∠O1AB=∠O1BA．
又∵∠O1BA=∠O1DA，
∴∠O1AP=∠O1DA．
又∵∠AO1P=∠DO1A，
∴△AO1P∽△DO1A．
∴．
∴O1A2=O1D•O1P．