Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（3，4）的抛物线交 y轴与A点，交x轴与B、C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，－5）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线与点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴与⊙C的位置关系，并给出证明．

（3）在抛物线上是否存在一点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

【解析】
（１）∵抛物线的顶点为（3，4），∴可设此抛物线的解析式为：。

∵此抛物线过点A（0，－5），∴，解得。

∴此抛物线的解析式为：，即。

（２）此时抛物线的对称轴与⊙C相离。证明如下：

令，即，得ｘ=1或ｘ=5，

∴B（1，0）,C（5，0）。

令ｘ=1，得，∴A（0，－5）。

如图，过点C作CE⊥BD于点E，作抛物线的对称轴交ｘ轴于点F，

∵AB⊥BD，∴∠ABO=900－∠ABO=∠CBE。

∵∠AOB=∠BEC=900，∴△AOB∽△BEC。

∴。

又∵OB=1，OA=5，∴根据勾股定理，得。

又∵BC=4，∴，即。

∵CF=2，∴，即。

∴抛物线的对称轴与⊙C相离。

（3）存在。

假设存在满足条件的点，

∵点在抛物线上，∴。

又，

，

。

①当∠A=900时，在中，由勾股定理，得 ，

∴，整理，得。

∴，解得或，∴或。

∴点P为（7，－12）或（0，－5）（舍去）。

②当∠C=900时，在中，由勾股定理，得，

∴，整理，得。

∴，解得或，∴或。

∴点P为（2，3）或（5，0）（舍去）。

综上所述，满足条件的点P的坐标为（7，－12）或（2，3）。

【解析】（1）由于已知抛物线的顶点为（3，4），故应用待定系数法，设顶点式求解。

（2）过点C作CE⊥BD于点E，应用△AOB∽△BEC求得CE的长，与点C到抛物线的对称轴的距离比较即可。

（3）用点P的横坐标表示三边的长，分∠A=900和∠C=900两种情况讨论即可。