Question

如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC ．

（１）求证：PA为⊙O 的切线；

（２）若OB=5，OP=，求AC的长．

Answer

【解析】
（１）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900。

∵OP∥BC，∴∠B=∠AOP。

又∠P=∠BAC ，∴△ABC∽△POA，∴∠PAO=∠ACB=900。

∴PA为⊙O 的切线。

（２）∵OB=5，AB是⊙O的直径，∴OA=5，AB=2OB=10。

由（１）知，△ABC∽△POA，∴。

又∵OP=，∴。

在Rt△ACB中，。

∴AC的长为8。

【解析】（1）要证PA为⊙O 的切线只要证∠PAO =900，通过直径所对圆周角是直角可得∠ACB=900，从而由△ABC∽△POA即可得证。

（2）同（1）△ABC∽△POA，利用相似比求得BC的长即可由勾股定理求得AC的长。