Question

（2013年广东梅州10分）如图，已知抛物线y=2x²﹣2与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．

（1）写出以A，B，C为顶点的三角形面积；

（2）过点E（0，6）且与x轴平行的直线l₁与抛物线相交于M、N两点（点M在点N的左侧），以MN为一边，抛物线上的任一点P为另一顶点做平行四边形，当平行四边形的面积为8时，求出点P的坐标；

（3）过点D（m，0）（其中m＞1）且与x轴垂直的直线l₂上有一点Q（点Q在第一象限），使得以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似，求线段QD的长（用含m的代数式表示）．

Answer

【解析】
（1）∵y=2x2﹣2，∴当y=0时，2x2﹣2=0，x=±1。

∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（1，0），AB=2。

又当x=0时，y=﹣2，∴点C的坐标为（0，﹣2），OC=2。

∴S△ABC=AB•OC=×2×2=2。

（2）将y=6代入y=2x2﹣2，得2x2﹣2=6，x=±2，

∴点M的坐标为（﹣2，6），点N的坐标为（2，6），MN=4。

∵平行四边形的面积为8，∴MN边上的高为：8÷4=2。

∴P点纵坐标为6±2。

①当P点纵坐标为6+2=8时，2x2﹣2=8，x=±。

∴点P的坐标为（，8）或（，8）。

②当P点纵坐标为6﹣2=4时，2x2﹣2=4，x=±，

∴点P的坐标为（，4）或（，4）。

                 综上所述，当平行四边形的面积为8时，点P的坐标为（，8）或（，8）或（，4）或（，4）。

   （3）∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣2），∴OB=1，OC=2。

∵∠QDB=∠BOC=90°，

∴以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况：

①OB与BD边是对应边时，△OBC∽△DBQ，则，即，

解得DQ=2（m﹣1）=2m﹣2。

②OB与QD边是对应边时，△OBC∽△DQB，则，即，

解得。

综上所述，线段QD的长为2m﹣2或。

【解析】（1）在二次函数的解析式y=2x2﹣2中，令y=0，求出x=±1，得到AB=2，令x=0时，求出y=﹣2，得到OC=2，然后根据三角形的面积公式即可求出△ABC的面积。

（2）先将y=6代入y=2x2﹣2，求出x=±2，得到点M与点N的坐标，则MN=4，再由平行四边形的面积公式得到MN边上的高为2，则P点纵坐标为8或4．分两种情况讨论：①当P点纵坐标为8时，将y=8代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标；②当P点纵坐标为4时，将y=4代入y=2x2﹣2，求出x的值，得到点P的坐标。

（3）由于∠QDB=∠BOC=90°，所以以Q，D，B为顶点的三角形和以B，C，O为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①OB与BD边是对应边，②OB与QD边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式计算求出QD的长度即可。

考点：二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，三角形的面积公式，平行四边形的判定，相似三角形的判定，分类思想的应用。