Question

数学活动——求重叠部分的面积。

问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：

如图（1），将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB=∠E=90°，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G。

求重叠部分（△DCG）的面积。

（1）独立思考：请解答老师提出的问题。

（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图(2)，你能求出重叠部分(△DGH)的面积吗？请写出解答过程。

（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题。“爱心”小组提出的问题是：如图(3)，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分(△DMN)的面积。

任务：①请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是　  　.

②请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。

Answer

【解析】
（1）∵∠ACB=90°，D是AB的中点，∴DC=DB=DA。∴∠B=∠DCB。

又∵△ABC≌△FDE，∴∠FDE=∠B。

∴∠FDE=∠DCB。∴DG∥BC。∴∠AGD=∠ACB=90°。∴DG⊥AC。

又∵DC=DA，∴G是AC的中点。

∴CG=AC=×8=4，DG=BC=×6=3。

∴SDCG=·CG·DG=×4×3=6。

（2）∵△ABC≌△FDE，∴∠B=∠1。

∵∠C=90°，ED⊥AB，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠2=90°。∴∠B=∠2。

∴∠1=∠2。∴GH=GD。

∵∠A+∠2=90°，∠1+∠3=90°，∴∠A=∠3。∴AG=GD。∴AG=GH。

∴点G是AH的中点。

在Rt△ABC中，AB= 10，

∵D是AB的中点，∴AD=AB=5。

在△ADH与△ACB中，∵∠A =∠A，∠ADH=∠ACB=90°，

∴△ADH∽△ACB。 ∴，即，解得。

∴S△DGH＝S△ADH＝×·DH·AD=××5=。

 （3）①。

②如图4，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥BC于点M，DF交A C于点N，求重叠部分（四边形DMCN）的面积。（答案不唯一）

【解析】

试题分析：（1）通过证明DG是Rt△ABC的中位线，即可求得重叠部分（△DCG）的面积。

（2）通过证明S△DGH＝S△ADH，即可求得重叠部分（△DGH）的面积。

（3）①如图，将△DEF绕点D旋转至（2）的位置△DE′F′，过点M作MP⊥DM交DE′于点P，过点N作NQ⊥DM交DF′于点Q，则

∵∠NDQ=∠QDM（旋转角相等），DM=MN，∠DNQ=∠DQM=90°，

∴△ABC≌△FDE（ASA）。

∴S△DDMN＝S△DGH＝=。

②开放型（答案不唯一）。