Question

如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S_△CEF=2S_△ABE．其中正确结论有【    】个．

A．2     B．3     C．4    D．5

Answer

C。 

【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°。

 ∵△AEF等边三角形，∴AE=EF=AF，∠EAF=60°。∴∠BAE+∠DAF=30°。

在Rt△ABE和Rt△ADF中，AE =AF，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。

∴BE=DF。故结论①正确。

由Rt△ABE≌Rt△ADF得，∠BAE=∠DAF，

∴∠DAF+∠DAF=30°。即∠DAF=15°。故结论②正确。

∵BC=CD，∴BC－BE=CD－DF，CE=CF。

∵AE=AF，∴AC垂直平分EF。故结论③正确。

设EC=x，由勾股定理，得EF=，CG=，AG=，

∴AC=。∴AB=。∴BE=。

∴BE+DF。故结论④错误。

∵，，

∴。故结论⑤正确。

综上所述，正确的有4个，故选C。