Question

（2013年四川泸州10分）如图，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA=∠CBD．

（1）求证：CD²=CA•CB；

（2）求证：CD是⊙O的切线；

（3）过点B作⊙O的切线交CD的延长线于点E，若BC=12，tan∠CDA=，求BE的长．

Answer

【解析】
（1）证明：∵∠CDA=∠CBD，∠C=∠C，

   ∴△ADC∽△DBC，

∴，即CD2=CA•CB。

（2）证明：如图，连接OD，

∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°。∴∠1+∠3=90°。

∵OA=OD，∴∠2=∠3。∴∠1+∠2=90°。

又∵∠CDA=∠CBD，即∠4=∠1，

∴∠4+∠2=90°，即∠CDO=90°。∴OD⊥OA。

又∵OA是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线。

（3）如图，连接OE，

∵EB、CD均为⊙O的切线，∴ED=EB，OE⊥DB。

∴∠ABD+∠DBE=90°，∠OEB+∠DBE=90°。∴∠ABD=∠OEB。∴∠CDA=∠OEB。

∵tan∠CDA=，∴。

∵Rt△CDO∽Rt△CBE，∴。

∵BC=12，∴CD=8。

在Rt△CBE中，设BE=x，

∴（x+8）2=x2+122，解得x=5。

∴BE的长为5。

【解析】（1）通过相似三角形（△ADC∽△DBC）的对应边成比例来证得结论。

（2）如图，连接OD．欲证明CD是⊙O的切线，只需证明CD⊥OA即可。

（3）通过相似三角形△EBC∽△ODC的对应边成比例列出关于BE的方程，通过解方程来求线段BE的长度即可。

考点：切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理。