Question

关于x的方程x²+mx-9=0和x²-3x+m²+6m=0有公共根，则m的值为    ．

Answer

设这个公共根为α，那么根据两根之和的表达式，可知方程x2+mx-9=0的两根为α、-m-α；方程x2-3x+m2+6m=0的两根为α、3-α．再根据两根之积的表达式，可知α（-m-α）=-9，α（3-α）=m2+6m，然后对两式整理，用α表示m，再代入其中一个方程消掉α，求解即可得到m的值．
【解析】
设这个公共根为α．
则方程x2+mx-9=0的两根为α、-m-α；方程x2-3x+m2+6m=0的两根为α、3-α，
由根与系数的关系有：α（-m-α）=-9，α（3-α）=m2+6m，
整理得，α2+mα=9①，α2-3α+m2+6m=0②，
②-①得，m2+6m-3α-mα=-9，
即（m+3）2-α（m+3）=0，
（m+3）（m+3-α）=0，
所以m+3=0或m+3-α=0，
解得m=-3或α=m+3，
把α=m+3代入①得，
（m+3）2+m（m+3）=9，
m2+6m+9+m2+3m=9，
m（2m+9）=0，
所以m=0或2m+9=0，
解得m=0或m=-4.5，
综上所述，m的值为-3，0，-4.5．
故答案为：-3，0，-4.5．