Question

小雅同学在学习圆的基本性质时发现了一个结论：如图，⊙O中，OM⊥弦AB于点M，ON⊥弦CD于点N，若OM=ON，则AB=CD．
（1）请帮小雅证明这个结论；
（2）运用以上结论解决问题：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O为△ABC的内心，以O为圆心，OB为半径的O D与△ABC三边分别相交于点D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC的周长．

Answer

（1）连OA，OC，根据垂径定理得到AM=AB，CN=CD，再利用勾股定理得到AM=，CN=，又OA=OC，OM=ON即可得到结论；
（2）分别过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为点P、M、N，连OA、OC，利用三角形内心的性质得到OP=OM=ON，根据（1）的结论得到DB=BE=GF，再根据垂径定理得到DP=PB=BM=ME=FN=NG，易证得Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，可得到AP=AN，CM=CN，则AD=AG=9，CE=CF=2，设BD=x，则AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，根据勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x即可得到三角形的周长．
【解析】
（1）连OA，OC，如图，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=AB，CN=CD，
在Rt△AOM中，AM=，
在Rt△CON中，CN=，
∵OA=OC，OM=ON，
∴AM=CN，
∴AB=CD；

（2）分别过O点作△ABC三边的垂线，垂足分别为点P、M、N，连OA、OC，如图，
∵O为△ABC的内心，
∴OP=OM=ON，
∴DB=BE=GF，
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG，
∴Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，
∴AP=AN，CM=CN，
∴AD=AG=9，CE=CF=2，
设BD=x，则AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，
∵AC2=AB2+BC2，
∴（11+x）2=（9+x）2+（2+x）2，
∴x2=36，
∴x=6，
∴△ABC的周长=9+x+2+x+11+x=3x+22=40．