Question

如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴下半轴交于C点，且经过点（2，-3），抛物线的最小值为-4，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C、M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=-x+3与y轴的交点是D，在直线BD上任取一点E（不与B、D重合），经过A、B、E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由．

Answer

（1）抛物线y=x2+bx+c经过点（2，-3），又其最小值为-4，代入即可得出答案；
（2）假设存在满足条件的点P，只需证明点P、A、C、N为顶点的四边形为平行四边形其两对边AN与CP平行且相等即可；
（3）先证明OD=OB，OB=OC，可得∠EAF=90°，又AE=AF，即可判断△AEF的形状．
【解析】
（1）根据题意，得，
解得或，
∵c＜0，∴，
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2-2x-3．

（2）存在．
在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3．
令y=0，得x2-2x-3=0，∴x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）．
又y=（x-1）2-4，∴顶点M（1，-4）．
容易求得直线CM的表达式是y=-x-3．
在y=-x-3中，令y=0，得x=-3．
∴N（-3，0），
∴AN=2．
在y=x2-2x-3中，令y=-3，得x1=0，x2=2，
∴CP=2，
∴AN=CP．
∵AN∥CP，
∴四边形ANCP为平行四边形，此时P（2，-3）．

（3）△AEF是等腰直角三角形．
理由：在y=-x-3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3．
∴直线y=-x-3与坐标轴的交点是D（0，3），B（3，0）．
∴OD=OB，∴∠OBD=45°．
又点C（0，-3），∴OB=OC∴∠OBC=45°．
由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°．
∴∠EAF=90°，且AE=AF．
∴△AEF是等腰直角三角形．