Question

某校研究性学习小组在研究有关反比例函及其图象性质的问题，时发现了三个重要结论．已知：A是反比例函数（k为非零常数）的图象上的一动点．
（1）如图1过动点A作AM⊥x轴，AN⊥y轴，垂足分别为M、N，求证：矩形OMAN的面积是定值；
（2）如图2，过动点A且与双曲线有唯一公共点A的直线l与x轴交于点C，y轴交于点D，求证：△OCD的面积是定值；
（3）如图3，若过动点A的直线与双曲线交于另一点B，与x轴交于点C，与y轴交于点D．求证：AD=BC．（任选一种证明）

Answer

（1）设出点A的坐标，按照矩形的面积公式求解即可；
（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），根据直线l与双曲线有唯一公共点，可求出A点是CD的中点，继而得出答案；
（3）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），可利用几何法和代数法进行求解．
【解析】
（1）图中点A在第一象限，
设A（xA，yA ），OM=xA，ON=yA，
SOMAN=OM•ON=xA•yA=k 3分

（2）设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），
则点C，D（（0，b），
，
，
∴，
∴A是CD中点，由（1）中结论得S△OCD=2k．3分

（3）几何方法过点A、B分别向坐标轴作垂线段由（1）中的结论得AE•AF=BG•BH，
∴，．
代数方法设直线CD的解析式为y=ax+b（a≠0），
，
，
，
得AF=CG，再可由全等证得DA=BC．
利用图3（2）时注意点B的坐标符号，其它方法略．