Question

如图1，在⊙O的直径AB的不同侧有定点C和动点M，点C在⊙O上，点M在弧上运动，弦AC=4，CM与AB相交于点E，过A作AP∥CM交BC的延长线交于点P．
（1）当M在运动过程中，满足时
①求证：AP为⊙O的切线；
②若此时，求⊙O的半径．
（2）如图2，连接CO，AM，OM，若∠OAC=60°，动点M从A点出发，当M运动到使S_△MAO=S_△CAO时，求动点M所经过的弧长．

Answer

（1）①由可以得出AB⊥CM于E，CE=ME，∠CEB=90°，由AP∥CM可以得出∠PAB=90°，进而得出AB⊥AP，从而得出结论；
②由AB是直径可以得出∠ACB=90°，可以得出∠ACE=∠B，就用sin∠B==，从而可以求出AB，就可以求出半径的值；
（2）当S△MAO=S△CAO时，就可以得出AO边上的高相等，则点C与点M关于AB对称，可以得出△AOM≌△AOC，就求出∠AOM=60°再根据弧长公式就可以求出的长度．
【解析】
（1）①证明：如图3，∵AB为直径，，
∴AB⊥CM，
∴∠CEB=∠CEA=90°，
∵AP∥CM，
∴∠PAB=90°
∴AB⊥AP，
∴AP为⊙O的切线；
②∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠CEA=90°，
∴∠CAB+∠ACE=90°，
∴∠ACE=∠B．
∵sin∠ACE=，
∴sin∠B==，且AC=4，
∴，
∴AB=12，
∴⊙O的半径为6．

（2）∵∠OAC=60°，且OA=OC，
∴△AOC为等边三角形，
∴∠AOC=60°，
如图2，当点M运动到点C关于AB的对称点M′时，S△MAO=S△CAO，则
==，
如图4，过点M′作M′M″∥AB，交⊙O于点M″，当点M 运动到M″时，S△MAO=S△CAO，则
==．
∴动点M所经过的弧长为：或．