Question

如图．已知反比例函数的图象与二次函数y=ax²+x-3的图象相交于点A（4，5）
（1）求a和k的值；
（2）反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点？说明理由．
（3）若二次函数图象与x轴交于B、D两点，与y轴交于点C．问：反比例函数的图象上是否存在一点P，使△PBD的面积等于四边形ABCD面积的2倍？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）把点A（4，5）分别代入二次函数和反比例函数即可求出a和k的值；
（2）利用配方法求出二次函数的顶点坐标，再代入反比例函数验证即可知道反比例函数的图象是否经过二次函数图象的顶点；
（3）令y=0，则有x2+x-3=0，求出点D和B的坐标，进而求出四边形ABCD 的面积，设三角形PBD的高为h，有条件求出h的值即可求出点的坐标．
【解析】
（1）∵反比例函数的图象与二次函数y=ax2+x-3的图象相交于点A（4，5），
∴5=16a+4-3，5=，
解得：a=，k=20；

（2）反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点，
由（1）知，二次函数和反比例函数的关系式分别是：
y=x2+x-3和y=，
∵y=x2+x-3=（x+2）2-4，
∴二次函数的顶点坐标是（-2，-4）
∵x=-2时，y==-10≠-4，
∴反比例函数的图象不经过二次函数图象的顶点；

（3）存在．
令y=0，则有x2+x-3=0，
∴x2+4x-12=0
解得：x1=-6，x2=2，
∴D（-6，0），B（2，0）
∵C（0，-3）
∴SABCD=S△ABD+S△BDC=×8×（3+5）=32，
∵S△PBD=×8×h，
当4h=2×32时，h=16，
∴当y=±16时，=±16，x=±，
∴反比例函数的图象存在两点P1（，16），P2（-，-16）使得△PBD的面积等于四边形ABCD面积的2倍．