Question

已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．
（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；
（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；
（3）试讨论：若把题目中“平行四边形ABCD”改为“四边形ABCD”，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．

Answer

（1）因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半；
（2）过点A分别作AE⊥BD，CF⊥BD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积，那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积；
（3）作辅助线AE⊥BD，CF⊥BD，利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高，那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积．
【解析】
（1）∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积=AC•BD=40．

（2）分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．                  （3分）
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO=AC=5，BO=DO=BD=4．
在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO×sin60°=5×=．       （4分）
∴S△AOD=OD•AE=×4××5=5．              （5分）
∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20．                （6分）

（3）如图所示，过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．   （7分）

在Rt△AOE中，sin∠AOE=，
∴AE=AO•sin∠AOE=AO•sinθ．
同理可得
CF=CO•sin∠COF=CO×sinθ．                                   （8分）
∴四边形ABCD的面积
S=S△ABD+S△CBD=BD•AE+BD•CF
=BDsinθ（AO+CO）
=BD•ACsinθ
=absinθ．