Question

已知：抛物线，其中a、b、c是△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．
（1）求证：抛物线与x轴必有两个不同交点；
（2）设直线y=ax-bc与抛物线交于E、F两点，与y轴交于点M，抛物线与y轴交于点N，若抛物线的对称轴为x=a，△MNE与△MNF的面积比为5：1，求证：△ABC是等边三角形；
（3）在（2）的条件下，设△ABC的面积为，抛物线与x轴交于点P、Q，问是否存在过P、Q两点且与y轴相切的圆？若存在，求出圆的圆心坐标，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令y=0，用根的判别式和三角形三边关系即可证得；
（2）先根据抛物线的对称轴求出a、b的关系．然后联立抛物线与直线l的解析式，求出E、F的横坐标，已知△MNE的面积是△MNF的面积的5倍，根据等底三角形的面积比等于高的比，由此可得出E的横坐标是F的横坐标的5倍，由此可求出a、c的关系，由此可求出三角形ABC的形状为等边三角形，得证；
（3）由（2）得到三角形ABC为等边三角形，根据面积求出等边三角形的边长，即可得到三角形ABC的边长，即得到a=b=c的值，代入确定出抛物线解析式，令解析式中的y=0，求出x的值，即可得到P和Q的横坐标，确定出两点的坐标，即可求出PQ的长，设圆H为满足题意的圆，根据P与Q关于对称轴对称，得到HJ垂直于PQ，根据垂径定理得到J为PQ中点，即可求出PJ的长，又圆心H在x=2上，且圆H与y轴相切，得到圆心H的横坐标为2，且圆H的半径为2，即HP=2，在直角三角形HPJ中，根据勾股定理求出HJ的长，即为圆心H的纵坐标，写出圆心H坐标即可．
（1）证明：令y=0，则有x2-（a+b）x+=0，
∴△=（a+b）2-c2，
由于a、b、c分别是△ABC的三边，
∴a+b＞c＞0，
∴（a+b）2＞c2，
∴△＞0，
因此抛物线总与x轴有两个交点．

（2）证明：由题意知：x==a，因此a=b．
设E点的横坐标为m，F点的横坐标为n，
联立抛物线和直线y=ax-bc可得：x2-2ax+=ax-ac，
即x2-3ax+=0，
∴m=，n=
由题意可知：m=5n；
即3a+=15a-5
即5a2-4ac-c2=0，
解得a=-（不合题意舍去），a=c，
因此a=b=c，△ABC为等边三角形；

（3）【解析】
存在过P、Q两点且与y轴相切的圆，理由如下：
∵△ABC为等边三角形，设边长为m，则边上的高为m，
∴S△ABC=m2=，即m2=4，解得m=2，
则a=b=c=2，抛物线解析式为y=x2-4x+1，
令y=0，得到x2-4x+1=0，解得x1=2-，x2=2+，
∴P（2-，0），Q（2+，0），PQ=2，
∵HJ⊥PQ，∴PJ=QJ=PQ=，
∵P与Q关于抛物线的对称轴x=2对称，且过P和Q的圆与y轴相切于I，
∴HI=2，即圆的半径为2，则HP=2，
在Rt△PHJ中，根据勾股定理得：HJ2=PH2-PJ2，
即HJ==1，
则圆心H坐标为（2，1）或（2，-1）．