Question

已知：如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，AE、DC的延长线相交于点F，连接AC、BF．
（1）求证：AB=CF；
（2）若将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，梯形ABCD应满足什么条件，能使四边形ABFC为菱形？并加以证明；
（3）在（2）的条件下求sin∠CAF的值．

Answer

（1）根据AAS或ASA可以证明△ABE≌△FCE，从而证明AB=CF；
（2）根据（1）的结论，知四边形ABFC是平行四边形，要使它成为菱形，则需AF⊥BC于E．结合折叠的方法，则∠ADC=∠AEC=90°，CD=BC；
（3）根据四边形ABFC为菱形，得AC=CF，则∠CAF=∠AFC；根据三角形的外角的性质，得∠ACD=2∠CAF；根据折叠，得∠CAD=∠CAF，则∠ACD=2∠CAD，从而求得∠CAF=30°，进而求其正弦值．
（1）证明：∵AB∥DC，
∴∠FCE=∠ABE，∠CFE=∠BAE．
又E是BC的中点，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．

（2）【解析】
梯形ABCD应满足∠ADC=90°，CD=BC．
理由如下：
∵AB∥CF，AB=CF，
∴四边形ABFC是平行四边形．
要使它成为菱形，只需AF⊥BC．
根据将梯形沿对角线AC折叠恰好D点与E点重合，得
∠ADC=90°，CD=BC．

（3）【解析】
∵四边形ABFC为菱形，
∴AC=CF．
∴∠CAF=∠AFC．
∴∠ACD=∠CAF+∠AFC=2∠CAF．
由于是折叠，得∠CAD=∠CAF．
∴∠ACD=2∠CAD．
又∠ADC=90°，
∴∠CAF=∠CAD=30°．
∴sin∠CAF=．