Question

关于x的方程mx²-x+m²+1=0只有一个实数根，则函数y=x²-（3m+4）x+m-1的图象与坐标轴的交点个数有    ．

Answer

（1）当m=0时，求出b2-4ac＞0，得到此函数与x轴有两个交点，求出y轴的交点；
（2）当m≠0时，根据根的判别式求出b2-4ac=0，推出m＞0，函数y=x2-（3m+4）x+m-1，①先由△的符号判定与x轴的交点数△=9m2+20m+20＞0，得到此函数与x轴有两个交点，②再求函数与y轴的交点即可．
【解析】
（1）当m=0时，
函数为：y=x2-4x-1，
b2-4ac=（-4）2-4×1×（-1）=20＞0，
∴此函数与x轴有两个交点，
与Y轴的交点是（0，-1），
∴与坐标轴的交点个数有3个；
（2）当m≠0时，
∵关于x的方程mx2-x+m2+1=0只有一个实数根，
∴b2-4ac=（-1）2-4m（m2+1）=1-4m（m2+1）=0，
即4m（m2+1）=1＞0，
由于m2+1＞0，
∴m＞0，
对于函数y=x2-（3m+4）x+m-1，
①先由△的符号判定与x轴的交点数，
△=（3m+4）2-4（m-1）=9m2+20m+20＞0，
∴此函数与x轴有两个交点，
②再求该函数与y轴的交点，
令x=0得y=m-1，
∴与y轴的交点为（0，m-1），
将m=1代入等式4m（m2+1）=1验证显然不成立，
故m-1≠0，
即（0，m-1）不在x轴上，
综上所述，该函数与x轴两个交点，与y轴一个交点，即与坐标轴总共是3个交点．
故答案为：3个．