Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交于点D，E，且∠CBD=∠A．
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若BC=2，BD=，求的值．

Answer

（1）先断定直线BD与⊙O相切，再作证明：连接OD，由OA=OD，∠C=90°，得出∠A=∠ADO，∠CBD+∠CDB=90°，再由∠CBD=∠A，得出∠ADO+∠CDB=90°，∠ODB=90°，所以直线BD与⊙O相切；
（2）此题有两种解法：以解法一为例：连接DE，由∠C=90°，BC=2，BD=，求出cos∠CBD的值，然后由AE是⊙O的直径，得到∠ADE=90°，．再由∠CBD=∠A，得到==，又因为AE=2AO，所以求的值就容易了．
【解析】
（1）直线BD与⊙O相切．
证明：如图1，连接OD．
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO．
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°．
又∵∠CBD=∠A，
∴∠ADO+∠CDB=90°．
∴∠ODB=90°．
∴直线BD与⊙O相切．

（2）解法一：如图1，连接DE．
∵∠C=90°，BC=2，BD=
∴．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°．
∴．
∵∠CBD=∠A，
∴==．
∵AE=2AO，
∴=．

解法二：如图2，过点O作OH⊥AD于点H．
∴．
∴
∵∠C=90°，BC=2，BD=
∴．
∵∠CBD=∠A，
∴==．
∴=．