Question

如图①，梯形ABCD中，DC∥AB，DE⊥AB于点E．
阅读理【解析】

在图①中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，得到图②；四边形BCDF的面积为S，△ADF的面积S₁，△PDC的面积S₂．

解决问题：
（1）在图②中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S=______，S₁=______，S₂=______；
（2）在图②中，若AB=a，DC=b，DE=h，则=______，并写出理由；
拓展应用：
如图③，▱DEFC的四个顶点在△PAB的三边上，若△PDC、△ADE、△CFB的面积分别为2、3、5，试利用 （2 ）中的结论求△PAB的面积．

Answer

（1）先判定四边形BCDF是平行四边形，然后利用平行四边形的面积公式即可求出S，根据平行四边形对边相等先求出BF的长度，从而可以求出AF的长度，然后再利用三角形的面积公式即可求出S1，先利用相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高，然后再利用三角形的面积公式求解即可；
（2）把（1）中的数字换成字母，可以先求出S与S1，然后根据相似三角形对应高的比等于对应边的比求出△PDC的DC边上的高，再利用三角形的面积公式表示出S2，最后代入代数式进行计算即可；
拓展应用：把图③的△ADE与△BCF的面积合并成S1，然后再代入（2）中的结论计算即可．
【解析】
（1）∵DC∥AB，DF∥BC，
∴四边形BCDF是平行四边形，
∴BF=DC=2，
∴S=DC•DE=2×3=6，
S1=AF•DE=（AB-BF）•DE=×（8-2）×3=9，
设△PDC的DC边上的高为x，
∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∴==，
解得x==1，
∴S2=×DC×x=×2×1=1；

（2）根据（1）得：S=bh，S1=（a-b）h，
设△PDC的DC边上的高为x，
∵DC∥AB，
∴△PDC∽△PAB，
∴=，
即=，
解得x=，
∴S2=DC•x=•b•=，
∴==4；

拓展应用：根据题意，△ADE与△BCF的面积合并成S1即可符合公式，
∴S1=3+5=8，S2=2，
∵=4，
∴S2=4×2×8=64，
解得S=8，
∴△PAB的面积=2+3+5+8=18．
故答案为：（1）6，9，1；（2）4．