Question

已知边长为3的正方形ABCD中，点E在射线BC上，且BE=2CE，连接AE交射线DC于点F，若△ABE沿直线AE翻折，点B落在点B₁处．
（1）如图1，若点E在线段BC上，求CF的长；
（2）求sin∠DAB₁的值；
（3）如果题设中“BE=2CE”改为“=x”，其它条件都不变，试写出△ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式及自变量x的取值范围（只要写出结论，不需写出解题过程）．

Answer

（1）利用平行线性质以及线段比求出CF的值；
（2）本题要分两种方法讨论：①若点E在线段BC上；②若点E在边BC的延长线上．需运用勾股定理求出与之相联的线段；
（3）本题分两种情况讨论：若点E在线段BC上，y=，定义域为x＞0；若点E在边BC的延长线上，y=，定义域为x＞1．
【解析】
（1）∵AB∥DF，
∴=，（1分）
∵BE=2CE，AB=3，
∴=，（1分）
∴CF=；（1分）

（2）①若点E在线段BC上，如图1，设直线AB1与DC相交于点M．
由题意翻折得：∠1=∠2．
∵AB∥DF，
∴∠1=∠F，
∴∠2=∠F，
∴AM=MF．（1分）
设DM=x，则CM=3-x．
又CF=1.5，
∴AM=MF=-x，
在Rt△ADM中，AD2+DM2=AM2，
∴32+x2=（-x）2，
∴x=，（1分）
∴DM=，AM=，
∴sin∠DAB1==；（1分）
②若点E在边BC的延长线上，如图2，设直线AB1与CD延长线相交于点N．
同理可得：AN=NF．
∵BE=2CE，
∴BC=CE=AD．
∵AD∥BE，
∴=，
∴DF=FC=，（1分）
设DN=x，则AN=NF=x+．
在Rt△ADN中，AD2+DN2=AN2，
∴32+x2=（x+）2，
∴x=．（1分）
∴DN=，AN=sin∠DAB1==；（1分）

（3）若点E在线段BC上，y=，定义域为x＞0；（2分）
若点E在边BC的延长线上，y=，定义域为x＞1．（1分）