Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x．
①试用含x的代数式表示BF的长；
②试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，得出BF与FG的长即可求出；
（2）利用（1）中所求，解一元二次方程即可求出．
（3）仍然按照（1）和（2）的步骤和方法去做就可以了，注意不是分成相等的两份，而是1：2就可以了，得到关于x的一元二次方程，先求出根的判别式△，由于△＜0，故不存在实数根．
【解析】
（1）由已知条件得：梯形周长为24，高4，面积为28．
BF=24÷2-x=12-x （1分），
过点F作FG⊥BC于G，过点A作AK⊥BC于K，
∵FG∥AK，
∴△BGF∽△BKA，
∴=，
∴FG=，
∴S△BEF=××x=（7≤x≤10）；

（2）存在． （4分）
由（1）得=14，（5分），
解得x1=7，x2=5（不合题意舍去），
∴存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长与面积同时平分，
此时BE=7．（6分）

（3）不存在，过点F作FM⊥BC于M，过点A作AH⊥BC于H，
假设存在，第一种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=1：2，
（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=1：2，
梯形ABCD周长的三分之一为=8，面积的三分之一为．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴=，
∴FM=，
∴△BEF的面积=-x2+x，
当梯形ABCD的面积=时，
∴=-x2+x，
整理方程得：-3x2+24x-70=0，
△=576-840＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积．
同时分成1：2的两部分．
第二种情况：显然是：S△BEF：SAFECD=2：1，（BE+BF）：（AF+AD+DC+CE）=2：1，
梯形ABCD周长的三分之一为：=8，面积的三分之一为：．因为BE=x，
所以BF=（8-x）
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴=，
∴FM=，
∴△BEF的面积=-x2+x，
当 梯形ABCD的面积=时，
∴×2=-x2+x，
整理方程得：3x2-24x+140=0，
△＜0
∴不存在这样的实数x．
即不存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积，同时分成1：2的两部分．