Question

下列五个命题：①若直角三角形的两条边长为3与4，则第三边长是5；②若四边形的两对角线相等，则此四边形一定是矩形；③若点P（a，b）在第三象限，则点Q（-a，-b+1）在第一象限；④存在锐角α，使sinα+cosα=1；⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等．其中正确的命题是（ ）
A．①②③
B．②③④
C．③⑤
D．④⑤

Answer

①两直角边为3、4，则第三边为5，②对角线相等的四边形可能是等腰梯形；③根据第三象限内点的符号可判断a、b的符号，④根据三角函数的定义，可得sinα+cosα＞1；⑤可以证明两三角形全等．
【解析】
①分两种情况进行讨论：当两直角边为3，4时，斜边为5；当一直角边为3，斜边为4时，另一直角边为；
②分两种情况进行讨论：可以为矩形，还可以为等腰梯形；
③根据题意得a＜0，b＜0，则-a＞0，-b+1＞0，则点Q（-a，-b+1）在第一象限；
④设α为一锐角，对边为a，邻边为b，斜边为c，
根据三角函数的定义，得sinα+cosα=+=，
∵a+b＞c，∴sinα+cosα＞1；
⑤设AB=A′B′，BC=B′C′，OB=O′B′，且OB，O′B′为中线，
延长BO，B′O′到P，P′，使BO=OP，B′O′=O′P′．
则四边形ABCP和A′B′C′P′是平行四边形，
所以AB=A′B′，AP=BC=B′C′=A′P′，BP=2OB=2O′B′=P′B′，
所以△ABP≌△A′P′B′，
所以∠ABP=∠A′B′P′，
所以∠ABC=2∠ABP=2∠A′B′P′=∠A′B′C′，
又以为AB=A′B′，BC=B′C′，
△ABC≌△A′B′C′．
故选C．