Question

如图，已知⊙O₁与⊙O₂都过点A，AO₁是⊙O₂的切线，⊙O₁交O₁O₂于点B，连接AB并延长交⊙O₂于点C，连接O₂C．
（1）求证：△O₂CB是直角三角形；
（2）证明：．

Answer

（1）⊙O1与⊙O2都过点A，AO1是⊙O2的切线，可证O1A⊥AO2，又O2A=O2C，O1A=O1B可证O2C⊥O2B，故可证．
（2）延长O2O1交⊙O1于点D连接AD，可证∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC，三角形相似，进而证明出结论．
证明：（1）∵AO1是⊙O2的切线，
∴O1A⊥AO2，
∴∠O2AB+∠BAO1=90°，
又O2A=O2C，O1A=O1B，
∴∠O2CB=∠O2AB，
∠O2BC=∠ABO1=∠BAO1，
又∠O2CB+∠O2BC=∠O2AB+∠BAO1=90°
∴O2C⊥O2B，即O2C⊥O1O2，
∴△O2CB是直角三角形；

（2）延长O2O1交⊙O1于点D，连接AD．
∵BD是⊙O1直径，
∴∠BAD=90°．
又由（1）可知∠BO2C=90°，
∴∠BAD=∠BO2C，又∠ABD=∠O2BC，
∴△O2BC∽△ABD，
，
∴AB•BC=O2B•BD又BD=2BO1，
∴AB•BC=O2B•2BO1．
∴．