Question

在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为（1，-4），交x轴于A、B两点（A点在B点的左边），交y轴于点C，已知A、B两点之间的距离为4．
（1）求这个抛物线的解析式及C点坐标；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使点P到B、C两点间的距离之差最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在x轴上方平行于x轴的一条直线y=m交抛物线于M、N两点，在x轴上是否存在一点Q，使△QMN为等腰直角三角形？若存在，求出相对应的m值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据题意可得出A，B两点的坐标，用待定系数法即可求出抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）根据抛物线的对称性可得|PB-PC|=|PA-PC|，即P、C、A三点共线的时候这个差最大，得点P坐标为（1，-6）；
（3）先假设存在一点Q，使△QMN为等腰直角三角形，再按此条件计算，分类讨论可得出结果．
【解析】
（1）根据题意，A（-1，0），B（3，0），顶点（1，-4）
∴解方程组：，
解得：a=1，b=-2，c=-3．
∴这个抛物线的解析式：y=x2-2x-3．
∵C点是抛物线与y轴的交点．
∴C（0，-3）；

（2）∵P在抛物线的对称轴上，
又∵A、B是关于抛物线的对称轴对称，
∴PB=PA，
即：|PB-PC|=|PA-PC|，（根据对称性，求P到B和C的距离之差就是求P到A和C的距离之差）
∴P、C、A三点共线的时候这个差最大．
∴连接AC并延长与抛物线对称轴交于一点P即为所求．
∴根据A、C两点求出AC的方程：y=-3x-3
∴AC与对称轴x=1的交点P坐标为（1，-6）．

（3）假设存在一点Q，使△QMN为等腰直角三角形，
分三种情况：MQ=MN与NQ=MN时不成立，
若QN=QM，
则可得Q1（2，0），
∴m=3．