Question

已知：如图，点P是半径为5cm的⊙O外的一点，OP=13cm；PT切⊙O于T点，过P点作⊙O的割线PAB（PB＞PA）．设PA=x，PB=y．
（1）求y关于x的函数解析式，并确定自变量x的取值范围；
（2）这个函数有最大值吗？若有，求出此时△PBT的面积；若没有，请说明理由；
（3）是否存在这样的割线PAB，使得S_△PAT=S_△PBT？若存在，请求出PA的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）连接圆心和切线，求得切线长，利用切割线定理可求得y关于x的函数解析式．
（2）根据自变量的取值，求得函数的最值，进而求得面积．
（3）利用相似三角形的面积来求得相应的对应边的长．
【解析】
（1）连接OT；
∵PT切⊙O于T点，
∴∠OTP=90°，
∵OP=13cm，OT=5cm，
∴PT=12；
∵PT为切线，
∴PT2=PA×PB，
∴xy=144，
∴y=（8≤x≤12）．

（2）由（1）得x=8时，y最大．为18，此时TB为直径，等于10，
∴△PBT的面积=PT×TB÷2=12×10÷2=60；

（3）∵∠TPA=∠TPA，∠PTA=∠PBT，
∴△PTA∽△PBT，
∵S△PAT=S△PBT，
∴PA：PT=1：，
∵PT=12，
∴PA=6，
∵在自变量的取值范围内，
∴存在．