Question

已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，弦CE⊥AB于F，C是的中点，连接AD，交CE于点P．
（1）求证：PA=PC；
（2）若，CF=12，求AC和BC的长．

Answer

（1）由垂径定理可知=，已知=，可得=，利用圆周角定理可证∠ACP=∠CAP，得出结论；
（2）由（1）可知∠CAD=∠ACF=∠B，即tan∠ACF=tan∠B=，先解Rt△ACF求AF，利用勾股定理求AC，再解Rt△ABC求BC．
（1）证明：∵AB为直径，弦CE⊥AB于F，
∴=，
又∵C是的中点，
∴=，
∴=，
∴∠ACP=∠CAP，
∴PA=PC；

（2）∵==，
∴∠CAD=∠ACF=∠B，
∴tan∠ACF=tan∠B=，
在Rt△ACF中，AF=CF•tan∠ACF=9，
∴AC==15，
在Rt△ABC中，BC===20．