Question

如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ADE≌△CDE；
（2）过点C作CH⊥CE，交FG于点H，求证：FH=GH；
（3）当AD：DF=时，试判断△ECG的形状并证明结论．

Answer

（1）由题意，AD=CD，∠1=∠2，DE=DE，易证△ADE≌△CDE．
（2）如图，由∠4+∠5=90°，∠5+∠6=90°，所以∠4=∠6，又∠3=∠G，所以∠6=∠G，同理，可得∠5=∠7，即可得到CH=HG=FH；
（3）由∠ADF=90°，AD：DF=，可得∠AFD=60°，结合（1）得，∠3=∠G=∠4=30°，∠AFD=∠7=60°，所以，
∠CEG=∠G=30°．
（1）证明：∵四边形是ABCD正方形，BD是对角线，
∴AD=CD，∠1=∠2，∠DCB=∠DCG=90°，
∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE；

（2）∵△ADE≌△CDE，
∴∠3=∠4，
∵CH⊥CE于C，
∴∠4+∠5=90°，
∵∠DCG=∠5+∠6=90°，
∴∠4=∠6，
∵AD∥BC，
∴∠3=∠G，
∴∠6=∠G，
∴HC=HG，
∵∠7+∠G=90°，∠5+∠6=90°，
∴∠5=∠7，
∴HF=HC，
∴HF=HG；

（3）△ECG是等腰三角形．理由如下：
∵∠ADF=90°，AD：DF=，
∴∠AFD=60°，
∴∠3=∠G=∠4=30°，∠AFD=∠7=60°，
∴∠CEG=∠7-∠4=∠G=30°，
∴CE=CG．
即△ECG是等腰三角形．