Question

三角形纸片ABC，∠C=90°，AB=2BC=4．将纸片折叠使点A总是落在BC边上，记为点D，EF是折痕，如图所示．
（1）当△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形时，四边形DFAE为哪种特殊的四边形？为什么？
（2）在（1）的条件下，求线段DF的长（结果用根号表示）；
（3）在BC边上是否存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似？若存在，求出相似比；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到DE=DF，再根据折叠的性质得DE=EA，FD=FA，因此DE=DF=FA=AF；
（2）设DF=x，则DE=AE=x，而AB=2BC=4，得到∠A=30°，AC=BC=2，利用DE∥AC，得DE：AC=BE：BA，即x：2=（4-x）：4，解出即可；
（3）假设存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似，则∠FDE=∠A=30°，∠B=60°，分类推论：当∠BED=∠FDE=30°，得∠BDE=90°，则∠DEF=90°，这与平角为180°相矛盾，同理当∠BDE=∠FDE=30°，也存在矛盾，于是不存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似．
【解析】
（1）四边形DFAE为菱形．理由如下：
∵△DEF是以∠EDF为顶角的等腰三角形，
∴DE=DF，
又∵△DEF由△AEF折叠得到，
∴DE=EA，FD=FA，
∴DE=DF=FA=AF，
∴四边形DFAE为菱形．

（2）设DF=x，
∵四边形DFAE为菱形，
∴DE=AE=x，
而AB=2BC=4，
∴∠A=30°，
∴AC=BC=2，
而DE∥AC，
∴DE：AC=BE：BA，即x：2=（4-x）：4，解得x=8-12，
∴线段DF的长为8-12．

（3）不存在．理由如下：
假设存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似，
∵∠FDE=∠A=30°，∠B=60°，
当∠BED=∠FDE=30°，
∴∠BDE=90°，
∴∠DEF=90°，
∴∠FEA=90°，这与平角为180°相矛盾，
同理当∠BDE=∠FDE=30°，也存在矛盾，
所以不存在一点D，使以D，E，F为顶点的三角形和以D，E，B为顶点的三角形相似．