Question

如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠CAD=∠CAB，CD⊥AD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）如果AB=5，cos∠CAB=，求AD的长．

Answer

（1）连接CO，由于OA=OC，那么∠OAC=∠OCA，而∠CAD=∠CAB，于是∠OCA=∠CAD，可证OC∥AD，而CD⊥AD，易证∠OCD=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）连接CB，在Rt△ABC中，易求AC，又CD⊥AD，易得∠ADC=∠ACB=90°，而∠CAD=∠CAB，那么Rt△ACD∽Rt△ABC，利用比例线段可求AD．
【解析】
如右图所示．
（1）证明：连接CO，
∵CO=AO，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠CAD=∠CAB，
∴∠OCA=∠CAD，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴DC⊥OC，
又∵CO是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
连接CB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AB=5，cos∠CAB=，
∴AC=4，
∵CD⊥AD，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∵∠CAD=∠CAB，
∴Rt△ACD∽Rt△ABC，
∴，
∴AD=．