Question

如图，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴和y轴上，A（-3，0），过点C的直线y=-2x+4与x轴交于点D，二次函数y=-x²+bx+c的图象经过B、C两点．
（1）求B、C两点的坐标；
（2）求二次函数解析式；
（3）若点P是CD的中点，求证：AP⊥CD；
（4）在二次函数图象上是否存在点M，使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令直线y=-2x+4的x=0即可得出C点坐标，再根据A、C两点坐标便可求出B点坐标；
（2）将B、C两点的坐标得到代入二次函数y=-x2+bx+c即可求得二次函数解析式；
（3）连接AC，先证△ACD为等腰三角形，即可证明AP⊥CD
（4）存在，先证明△MNA与△COD相似，即可求得M点坐标．
（1）【解析】
y=-2x+4，当x=0时，y=4，∴C（0，4）
在矩形OABC中，BC=OA=3，AB=OC=4．
∴B（-3，4）．

（2）【解析】
∵二次函数y=-x2+bx+c的图象经过B、C两点，
∴
∴
∴y=-x2-x+4．

（3）证明：连接AC，在Rt△AOC中，AC===5
∵y=-2x+4，当y=0时，x=2．
∴D（2，0）
∵AD=OA+OD=3+2=5．
∴AD=AC．
∵P是CD的中点，
∴AP⊥CD．

（4）【解析】
存在，理由：假设四边形APCM为矩形，过点M作MN⊥x轴于N点，
在Rt△COD中，CD===2．∴CP=AM=CD=
∵MA∥CD，∴∠MAN=∠CDO．
∵∠MNA=∠COD=90°，
∴△MNA∽△COD．
∴
∴MN=4×=2．
NA=2×=1
∵ON=OA+AN=4
∴M（-4，2）
把x=-4代入y=-x2-x+4中，
y=2
∴点M在抛物线上
∴存在这样的点M，使四边形APCM为矩形．