Question

如图，等边△ABC的边长为，以BC边所在直线为x轴，BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
（2）如图，设⊙P是△ABC的内切圆，分别切AB、AC于E、F点，求阴影部分的面积．
（3）点D为y轴上一动点，当以D点为圆心，3为半径的⊙D与直线AB、AC都相切时，试判断⊙D与（2）中⊙P的位置关系，并简要说明理由．
（4）若（2）中⊙P的大小不变，圆心P设y轴运动，设P点坐标为（0，a），则⊙P与直线AB、AC有几种位置关系？并写出相应位置关系时a的取值范围．

Answer

（1）设过A、B、C三点抛物线解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式；
（2）易证⊙O切BC于O点，连接PE、PF，求得△APE与扇形EPF的面积，由S阴影=2S△APE-S扇形EPF即可求得阴影部分的面积；
（3）设⊙D分别切直线AB、AC于M、N点，连接DM，由DM=3，∠DAM=30°，即可求得AD与PD的长，由PD=OD+OP，即可得⊙P与⊙D外切，则当点D在y轴负半轴时，设⊙D切直线AB、AC于点Q、G，连接DG，易求得DP=8，由DP＞3+1，可得⊙D与⊙P外离；
（4）当a=-1或a=-5时，⊙P与直线AB、AC相切；当-5＜a＜-1时，⊙P与直线AB、AC相交；当a＜-5或a＞-1时，⊙P与直线AB、AC相离．
【解析】
（1）由条件求得A（0，-3），B（-，0），C（，0），
设过A、B、C三点抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
代入，得，
解得，
∴所求抛物线解析式为：y=x2-3．

（2）易证⊙P切BC于O点．
如图，连接PE、PF，
∵△ABC=×BC×PE×3=BC×OA，
∴3PE=OA=3，
∴PE=PF=1，PA=2，AE=，
∴S△APE=，S扇形EPF=，S阴影=2S△APE-S扇形EPF=-，
（或运用S阴影=求得．）

（3）当点D在y轴正半轴时，
如图，设⊙D分别切直线AB、AC于M、N点，连接DM，
∵DM=3，∠DAM=30°，
∴AD=6，
又∵AP=2，
∴PD=4，
∴PD=OD+OP，
∴⊙P与⊙D外切．
当点D在y轴负半轴时，设⊙D切直线AB、AC于点Q、G，连接DG，易求得DP=8，
∴DP＞3+1，
∴⊙D与⊙P外离．

（4）⊙P与直线AB、AC有三种位置关系：相切、相交、相离．
如图，当a=-1或a=-5时，⊙P与直线AB、AC相切；
当-5＜a＜-1时，⊙P与直线AB、AC相交；
当a＜-5或a＞-1时，⊙P与直线AB、AC相离．