Question

在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是BC上的一个动点（不与B、C重合），过F点的反比例函数y=（k＞0）的图象与AC边交于点E．
（1）求证：AE•AO=BF•BO；
（2）若点E的坐标为（2，4），求经过O、E、F三点的抛物线的解析式；
（3）是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出此时的OF的长；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据反比例函数的性质得出，xy=k，即可得出AE•AO=BF•BO；
（2）利用E点坐标首先求出BF=，再利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（3）设折叠之后C点在OB上的对称点为C'，连接C'E、C'F，过E作EG垂直于OB于点G，则根据折叠性质、相似三角形、勾股定理得出即可．
（1）证明：∵E，F点都在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的性质得出，xy=k，
∴AE•AO=BF•BO；

（2）【解析】
∵点E的坐标为（2，4），
∴AE•AO=BF•BO=8，
∵BO=6，∴BF=，
∴F（6，），
分别代入二次函数解析式得：，
把c=0代入得：，

解得：，
可得原方程组的解为：，
∴y=-x2+x；

（3）【解析】
设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的C'点，
过点E作EG⊥OB，垂足为G．
由题意得：EG=AO=4，
把y=4代入y=得：x=k，把x=6代入y=得：y=k，
∴EC'=EC=6-k，C′F=CF=4-k，
∵∠EC'G+∠FC'B=∠FC'B+∠C'FB=90°，
∴∠EC'G=∠C'FB．
又∵∠EGC'=∠C'BF=90°，
∴△EC'G∽△C'FB．
∴EG：C'B=EC'：C'F，
∴4：C'B=（6-k）：（4-k）=[3（2-k）]：[2（2-k）]，
∴C'B=，
∵C'B2+BF2=C'F2，
∴（）2+（k）2=（4-k）2，
解得k=，
∴BF==，
∴存在符合条件的点F，它的坐标为（6，）．
∴FO==．