Question

如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于E，OF⊥AC于F，BE=OF．
（1）求证：OF∥BC；
（2）求证：△AFO≌△CEB；
（3）若EB=5cm，CD=10cm，设OE=x，求x值及阴影部分的面积．

Answer

（1）根据直径所对的圆周角是直角，以及垂直于同一直线的两直线平行即可证得；
（2）根据垂径定理以及等弧所对的圆周角相等，即可证得：△AFO和△CEB的两个角相等，从而证得两个三角形相似；
（3）根据勾股定理求得x的值，然后根据阴影部分的面积=扇形COD的面积-△COD的面积即可求解．
（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴AC⊥BC
又∵OF⊥AC
∴OF∥BC

（2）证明：∵AB⊥CD
∴=
∴∠CAB=∠BCD
又∵∠AFO=∠CEB=90°，OF=BE，
∴△AFO≌△CEB

（3）【解析】
连接DO．设OE=x，
∵AB⊥CD
∴CE=CD=5cm．
在直角△OCE中，OC=OB=x+5（cm），
根据勾股定理可得：（x+5）2=（5）2+x2
解得：x=5，即OE=5，
∴tan∠COE===，
∴∠COE=60°
∴∠COD=120°，
∴扇形COD的面积是：=cm2
△COD的面积是：CD•OE=×10×5=25cm2
∴阴影部分的面积是：（-25）cm2．