Question

已知：如图，以△ABC的顶点A为圆心，r为半径的圆与边BC交于D、E两点，且AC²=CE•CB．
（1）求证：r²=BD•CE；
（2）设以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的面积为S，若BD、CE的长是关于x的方程x²-mx+3m-5=0的两个实数根，求S=时的r的值．

Answer

连接AD，AE，（1）根据已知条件可以推出△ACE∽△BCA，得∠EAC=∠B，既而推出△AEC∽△BDA，即可推出结论，（2）根题意，S=（）2•π=，因为BD•CE=3m-5，BD+CE=m，代入方程，解方程得m的值，既而求r的值．
（1）证明：如图，连接AD，AE，
∵AC2=CE•CB．
∴△ACE∽△BCA，
∴∠EAC=∠B，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠ADB=AEC，
∴△AEC∽△BDA，
∴AD•AE=BD•CE，
∴r2=BD•CE，

（2）【解析】
∵以BD、CE为两直角边的直角三角形的外接圆的面积为S，
∴S=（）2•π，
∵S=，
∴（）2•π=，即BD2+CE2=2，
∵BD、CE的长是关于x的方程x2-mx+3m-5=0的两个实数根，
∴BD•CE=3m-5，BD+CE=m，
∴BD2+CE2=（BD+CE）2-2BD•CE=m2-2（3m-5）=2，
整理得：m2-6m+8=0，解得：m=2，m=4，
当m=4时，原方程则无解，应舍去．
m=2．
∴BD•CE=1
∵r2=BD•CE，
∴r=1．