Question

如果关于x的方程x²+（2k-3）x+k²-3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和．
求；（1）k的值；
（2）方程的两个实数根的平方和．

Answer

（1）设方程的两根分别为x1，x2，根据根与系数的关系得到x1+x2=-（2k-3），x1•x2=k2-3，根据题意有x1+x2=+，则2k-3=0或k2-3-1=0，解得k1=，k2=2，k3=-2，而△≥0，即（2k-3）2-4（k2-3）≥0，解得k≤；最后得到满足条件的k值；
（2）先变形x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=（2k-3）2-2（k2-3），然后把（1）中k的值分别代入计算即可．
【解析】
（1）设方程的两根分别为x1，x2，
x1+x2=-（2k-3），x1•x2=k2-3，
∵方程x2+（2k-3）x+k2-3=0的两个实数根，
∴△≥0，即（2k-3）2-4（k2-3）≥0，
解得k≤；
而x1+x2=+，
∴（x1+x2）（x1•x2-1）=0，
∴2k-3=0或k2-3-1=0，
解得k1=，k2=2，k3=-2，
而k≤；
∴k1=，k2=-2；

（2）x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2
=（2k-3）2-2（k2-3）
=2k2-12k+15
当k=，原式=；
当k=-2，原式=47．