Question

已知函数y=x²+（2m+1）x+m²-1，其中m为实数．
（1）当m是什么数值时，y有最小值为0？
（2）求证：不论m是什么数值时，抛物线的顶点都在同一直线l上；
（3）求证：任何一条平行于l而与抛物线相交的直线被各抛物线截出的线段都相等．

Answer

（1）运用顶点式求出二次函数的顶点坐标，即可得出m的值；
（2）根据二次函数的顶点坐标，得出顶点坐标的横纵坐标，即可得出有关x，y的函数关系式，从而证明结论；
（3）利用根的判别式得出b的取值范围，进而求出方程的两根，根据两根之间距离得出答案．
【解析】
（1）∵y=x2+（2m+1）x+m2-1，
∴，
∴y的最小值为，
∵y有最小值为0，
∴，
∴；

（2）∵抛物线的顶点坐标为（，），
∴，，
∴
∴不论m是什么数值时，抛物线的顶点都在同一直线上；

（3）设直线y=x+b为任一平行于l的直线，
则y=x+b，y=x2+（2m+1）x+m2-1，
∴x2+2mx+m2-b-1=0，
∵△=（2m）2-4（m2-b-1）≥0，
∴b≥-1
即当b≥-1时，直线l与抛物线相交，
当b≥-1时，，
∴，，
∵直线l的k=1，
∴直线l被抛物线截出的线段长为：，
∴=，
这与m无关，因此直线y=x+b被抛物线截出的线段都相等．