Question

有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点．
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3；
请写出满足上述全部特点的二次函数解析式．

Answer

由对称轴是直线x=4，与x轴两交点的横坐标都是整数，可设与x轴两交点坐标为（3，0），（5，0），又因为以函数与x轴，y轴交点为顶点的三角形面积为3，可得与y轴的交点的坐标为（0，3）．利用交点式y=a（x-x1）（x-x2），求出解析式．
【解析】
此题答案不唯一
设所求解析式为y=a（x-x1）（x-x2），（其中x1＜x2），则
其图象与x轴两交点分别是A（x1，0），B（x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）．
因为交点式a（x-x1）（x-x2），
又因为与y轴交点的横坐标为0，
所以a（0+x1）（0+x2），也就是ax1x2，
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4-x1，即：x1+x2=8 ①
∵S△ABC=3，∴（x2-x1）•|ax1x2|=6，即：x2-x1=②
①②两式相加减，可得：x2=4+，
x1=4-，
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，
∴ax1x2是3的约数，共可取值为：±1，±3．
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：y1=x2-x+1，
y2=-x2+x-1．
y3=x2-x+3，
y4=-x2+x-3．
故答案为：y=x2-x+3（答案不唯一）．