Question

如图，在△ABC中，AC=15，BC=18，sinC=，D是AC上一个动点（不运动至点A，C），过D作DE∥BC，交AB于E，过D作DF⊥BC，垂足为F，连接BD，设CD=x．
（1）用含x的代数式分别表示DF和BF；
（2）如果梯形EBFD的面积为S，求S关于x的函数关系式；
（3）如果△BDF的面积为S₁，△BDE的面积为S₂，那么x为何值时，S₁=2S₂．

Answer

（1）可在直角三角形CFD中，根据CD的长，和∠C的正弦函数表示出DF，而BF的值可以先在直角三角形CFD中，用CD和∠C的余弦函数表示出CF，然后根据BC-CF表示出BF的长；
（2）本题中（1）已经表示出了BF，DF的长，那么关键是DE的长，可通过DE∥BC，根据平行线分线段成比例定理，得出关于AD，AC，DE，BC的比例关系式，然后根据BC的长，用CD表即x表示出DE，然后根据梯形的面积公式即可得出关于S与x的函数关系式；
（3）三角形BDF中BF，DF已经在（1）中得出，梯形的面积也在（2）中得出，可根据题中给出的他们的比例关系，得出关于x的方程，然后通过解方程即可得出x的值．
【解析】
（1）在Rt△CDF中，sinC=，CD=x
∴DF=CD•sinC=x，CF=
∴BF=18-；

（2）∵ED∥BC，
∴=．
∴ED===18-x．
∴S=×DF×（ED+BF）
=×x×（18-x+18-x）=-x2+x；

（3）由S1=2S2，得S1=S，
∴（18-x）•x=（-x2+x），
解得：x=10
所以，当x=10时，S1=2S2．