Question

在平面直角坐标系中，A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（10，0）．

（1）如图①，若直线AB∥OC，AB上有一动点P，当P点的坐标为______时，有PO=PC；
（2）如图②，若直线AB与OC不平行，则在过点A的直线y=-x+4上是否存在点P，
使∠OPC=90°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使得∠OPC=90°，试求出此时y=kx+4中k的值是多少．

Answer

（1）因为A点的坐标为（0，4），C点的坐标为（10，0），（5，4），直线AB∥OC，P在直线AB上，所以P的纵坐标为4，又因PO=PC，所以P在OC的垂直平分线上，所以P的横坐标为5，即P（5，4）；
（2）因为∠OPC=90°，所以P在以OC为直径的圆上，作PD⊥OC于D，因为P在过点A的直线y=-x+4上，所以可设P（x，-x+4），利用射影定理可得到PD2=OD•CD，即（-x+4）2=x（10-x），解之即可求出点P的坐标；
（3）因为点P在直线y=kx+4上移动时，只存在一个点P使得∠OPC=90°，所以需分两种情况讨论：
①当直线过二、四象限时，B、C重合，直线过点（10，0），把该点的坐标代入解析式即可求出k的值；
②当直线过一、三象限时，此时直线与圆相切，设圆心为D，则DP=5，DP⊥BP，即∠P=∠AOB=90°，可求出k的值．
【解析】
（1）（5，4）．

（2）如图所示，
PD⊥OC于D，设P（x，-x+4），
PD2=OD•CD，（-x+4）2=x（10-x），
解得：x=1或8，
∴P（1，3）或P（8，-4）．

（3）分两种情况：
①如图Ⅰ，
则0=k×10+4，则k=；
②如图Ⅱ，
易证明△AOB∽△DPB，
则，得x=B（，0），k=，
∴或．