Question

（2011•徐汇区二模）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．
（1）证明：直线FC与⊙O相切；
（2）若OB=BG，求证：四边形OCBD是菱形．

Answer

（1）如图，连接OC，首先可以由OA=OC得到∠1=∠2，根据翻折可以得到∠2=∠3，由此即可证明直线FC与⊙O相切；
（2）由于OB=BG，由直径AB垂直弦CD可以得到CB=BD，而OB=OC=OD，由此可以得到OB=OC=OD=BD，然后即可证明题目的结论．
证明：（1）连接OC，
∵OA=OC，∴∠1=∠2
由翻折得，∠1=∠3，∠F=∠AEC=90°．
∴∠2=∠3．
∴OC∥AF．∴∠OCG=∠F=90°．
∵点C在圆上
∴直线FC与⊙O相切．

（2）证法一：
在Rt△OCG中，∵OB=BG，∴，
∵直径AB垂直弦CD，∴
∴CB=BD，∵OB=OC=OD
∴BC=OC=OD=BD
∴四边形OCBD是菱形．
证法二：在Rt△OCG中，
∵OB=BG
∴BC=OG=OB，
∵OB=OC，
∴CB=CO
∵AB垂直于弦CD，
∴OE=EB
∵直径AB垂直弦CD，
∴CE=ED
∴四边形OCBD是平行四边形，
∵AB垂直于弦CD，
∴四边形OCBD是菱形．